最近开始了解贝叶斯相关的东西，《贝叶斯思维》这本书开篇提到的“Monty Hall Problem”就很有趣（第一次我也错了。。。）这里就记录一下这个问题。
问题是什么
书里面描述有点多，直接简化来说现在有三道扇门，其中一扇后面有10w软妹币，另外两扇后面则是1软妹币,现在我们按如下的规则玩游戏：
- 猜那个后面有大奖，猜中则拿到大奖
- 让你先挑选一扇门，我们称之为A，另外两扇分别为B，C
- 为了增加悬念，这个时候主持人会打开B，C中的任意一个，假设B吧（B，C中肯定可以开一个)
- 然后主持人给你一个选择：是坚持最初的选择还是换到剩下未打开的门上
我的第一反应是这俩没啥区别，既然开了一扇小的，那么剩下两扇门后面中大奖的概率应该是五五开的。但是一个贝叶斯主义者应该不这么看，此时的概率已经悄然改变。
分析
贝叶斯公式
估计这个不需要介绍太多
通俗一点解释就是：
后文例子中：
- $p(H)$：先验概率
- $p(D \vert H)$：似然度，即在该假设下得到某数据的概率
- $p(D)$：标准化常量，即在任何假设下得到某数据的概率
- $p(H \vert D)$：后验概率，即看到新数据后，我们要计算的概率
定义事件
我们可以把事件归纳为以下两件，其中重点是理解事件D
H : 钱在门后面
D : 打开门B且钱不在后面
算算概率
| 假设 | 先验概率$p(H)$ | 似然度$p(D \vert H)$ | $p(H)p(D \vert H)$ | 后验概率$p(H \vert D)$ |
|---|---|---|---|---|
| 假设A | ${1 \over 3}$ | ${1 \over 2 }$ | ${1 \over 6 }$ | ${1 \over 3 }$ |
| 假设B | ${1 \over 3}$ | 0 | 0 | 0 |
| 假设C | ${1 \over 3}$ | 1 | ${1 \over 3 }$ | ${2 \over 3 }$ |
先验概率一眼而知，但是似然度就需要一些思考了，现在我们分开来看：
- 对于假设A，即钱在A门后面，那么在这种情况下，BC两门任选，即$p(D \vert H)={1 \over 2}$
- 对于假设B，主持人必须打开门C，此时$p(D \vert H)=0$
- 对于假设C，主持人必须打开门B，此时$p(D \vert H)=1$
算一算$p(D) = {1 \over 2}$,后面的后验概率也是呼之欲出了
个人思考
就跟考试的时候选择题第十题，假设这个时候你已经知道一个答案的错的情况下，再去选择的话，只要不傻，正确的概率就由0.25变成0.33了赛。
个人感觉重点是理解似然度的计算，理解已经发生的事情对未知的事情（打开了门B且没有钱）对未知的事情（钱在哪一个门后面）产生的影响。