理解自然对数

写在最前

从什么时候知道自然对数$e$早就忘了，记得当时老师也只是叫大家记住，但是没说这个数字是怎么来的，自己也没有去了解。前几天看到一个推导，觉得很不错，这个Mark一下。

复利引入

首先我们要知道$e$在数学上是一个无理常数，约等于$2.718$,由大数学家雅可比·伯努利发现。

从经济学的的一个概念复利，我们可以很好地了解到$e$。复利应该是最伟大的力量之一，这里面有很多可以说的，但是我的了解也很浅薄，以后多看。

引入一个指数增长模型：

我们都知道某些细菌是通过二分裂进行繁殖的，假设在一个完美的环境下（细菌可以无限量任意繁殖，不会受到任何限制），那么细菌第$n+1$天都会是第$n$天的两倍。即

$$S = K \cdot 2^n$$

其中$S$是第$n$天的细菌数量，$K$是培养皿中细菌的起始数量。
当然我么也可以对公式稍微改一改，就变成了$S = K \cdot ( 1 + 1 )^n = K \cdot (1+100\%)^n$ , 这里我们就可以把分裂换成增长率是$100\%$，同样的 增长率也可以是$50\%$，$25\%$等等，那公式就可以变成

$$S = K \cdot (1 + r)^n$$

其中$r$是增长率。

问题与解答

假设一个小伙子有一块钱，然后有家银行打出了年利$ 100\% $的的方案来吸引资金，而且可以随时存取，那请问小伙子怎么办才能获取最多的钱呢？假设有最多的钱，是多少呢？

其实稍微了解点复利的概念，就知道存了然后把利息取出来再存进去就可以利滚利了，而且是利息越多越好，因为有限的时间下，越早钱越多滚到最后越大，即我们应该尽早拿出利息，再存进去。那我们随便列举一下情况：

• 半年存取一次
• 四个月存取一次
• 一天存取一次

假如说半年取一次，就需要存取两次，增长率为${100\% \over 2} = 50\% $，即最后可以获得

$$S = 1 \cdot (1+50\%)^2 = 2.250$$

那相应的四个月取一次，相应可以存取三次，增长率为${100\% \over 3}= 33.3\%$，则最后可以获得的钱为

$$S = 1 \cdot (1+{100 \over 3}\%)^3 = 2.370$$

同理我们可以很简单的得到一天存取一次可以获得多少钱:

$$S = 1 \cdot (1+{100 \over 365}\%)^{365} = 2.714$$

可以看出来确实是满足我们假设的，那假如说我存取越来越频繁，以趋近于无穷呢？

那我们写段小代码自己算一下

假设存取1次，那么最后可以获得2.0元
假设存取2次，那么最后可以获得2.25元
假设存取4次，那么最后可以获得2.44140625元
假设存取8次，那么最后可以获得2.565784513950348元
假设存取16次，那么最后可以获得2.6379284973666元
假设存取32次，那么最后可以获得2.676990129378183元
假设存取64次，那么最后可以获得2.697344952565099元
假设存取128次，那么最后可以获得2.7077390196880207元
假设存取256次，那么最后可以获得2.7129916242534344元
假设存取512次，那么最后可以获得2.7156320001689913元
假设存取1024次，那么最后可以获得2.7169557294664357元
假设存取2048次，那么最后可以获得2.7176184823368796元

可以看到，我们可以猜测这种操作是存在一种极限的，这个极限就是我们的自然对数$e$! 也就是说只要在利率保持$100\%$的情况下，不断提高存取次数，那么最后的余额会逼近$e=2.7182818…$

这个时候，我们就可以祭出高等数学微积分中的重要极限了！

$$e = \lim _ {n \to \infty} (1+{1 \over n})^n$$

看，就是这么自然！